雪花曲线与海岸线悖论（二）

老贾

科赫曲线是一种分形，其形态似雪花，又称科赫雪花、雪花曲线。具体步骤是：
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形；
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

狗毛毛

啊哩哩啊 发表于 2021-4-14 23:04
形象地说，分形的维度，指的是在图形变化中，将图形变化数量和图形变化的相似比例建立关系式。这样，只要确 ...

欢迎啊哩哩啊，这回有人可以聊这些了，太专业，我们搭不上话

啊哩哩啊

形象地说，分形的维度，指的是在图形变化中，将图形变化数量和图形变化的相似比例建立关系式。这样，只要确定了维数，不管图形缩小多少，几百万倍几千万倍，都能算出当时比例的图形数量。
这个思路有什么用呢？拿你们讨论的海岸线来说，可以这样看，一条串珠，里面的绳子就当作是海岸线，珠子就是测量的尺子。每个珠子都有相同的尺寸。知道串珠的半径和数量，就能算出绳子的长度。如果把绳子折成弯弯绕绕的无规则的（支离破碎性），则珠子越小，算得越精确。如果要算长度的话，知道维数和缩小的倍数，就能算出那个倍数下串珠的数量。知道了珠子数量和半径，也就是知道了那个倍数下的绳子的长度。所以，海岸线的计算就是这样的。但是缩放倍数不同，珠子的数量也就不同，半径也不同。缩成原来的1/2与缩成原来的1/3，维数是不同的；缩下来的珠子有几个有用的几个没用的，这也是关键的。
数学上，海岸线可以有无限个点，但这个于测量无意义。要精确测量，一定是在无限与定值的区间才可以。所以，分形就是一个有区间的集合。利用分形计算，就可以得到一个区间内缩小接近无限的一个近似值。

啊哩哩啊

尤美 发表于 2021-4-12 01:55
对了，酸菜鱼这题里面有句话一直没想明白为什么，“放大三倍后，只能得到相当于二个原来图型大小的新图型 ...

不好意思，尤美，前两天光顾着玩，没注意你的这个问题。我现在来简单说说，给你参考，你看对不对。

我想，大概酸菜鱼其实想说的是“按1：3的倍数缩小一次后，得到2个相似于原来的图形”。按照这个康托集图形来说，就是每缩小一次，就得到原来长度1/3的2个相似图形。不管缩得有多小，这个比例是不变的，可以建立关系式：

（相似图形数）=（缩放倍数）^D ，D=log(图形数)/log（缩放倍数）=log2/log3=0.63。这个D就是维数。

当然，如果严格点说的话，就该这么说：如果A可以分成N个相等的与A相似的部分，则A集就是自相似集；且如果每部分与A的相似比为r，r=（1/N）^D ，则D为自相似集的维数，D=logr/log(1/N)=-logr/logN。

像顶楼的那个科赫图形，每缩放一次，相似图形数N为4个(一根线条变4根线条)，相似比（缩放倍数）r为1/3（每根线条是原线条的1/3）那么，D=lg4/lg1/3=-1.26，维数就是-1.26。D其实是一条变化斜率，负值意味着相似图形趋向缩小。

老贾

诗意天涯 发表于 2021-4-12 15:36
可不可以无限细分，这个属于上帝的问题了。
最终答案要么可以，要么不可以，就像π值，要么无限，要么有 ...

包括时间是否可以无限细分，没人能回答。人在自然面前，还是无知的很啊。

诗意天涯

老贾 发表于 2021-4-12 15:23
这就是我前面说的，在现实世界，这个数学问题会进入物理学领域，就是物质世界是否可以无限细分的问题。

可不可以无限细分，这个属于上帝的问题了。
最终答案要么可以，要么不可以，就像π值，要么无限，要么有个终极。但目前的科学和理论体系，回答不了

老贾

诗意天涯 发表于 2021-4-12 15:05
也可以这么理解吧。
不管什么，只要这么无限细分下去，就永远落不到实处，也没有个尽头。
虚无主义可能 ...

这就是我前面说的，在现实世界，这个数学问题会进入物理学领域，就是物质世界是否可以无限细分的问题。

诗意天涯

尤美 发表于 2021-4-12 14:02
照这个典，谁都长生不死~

也可以这么理解吧。
不管什么，只要这么无限细分下去，就永远落不到实处，也没有个尽头。
虚无主义可能就这么来的

诗意天涯

尤美 发表于 2021-4-12 13:58
时间一直在累加，但每次累加都是上次的一半。

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 ...

理论上说，过程没有尽头，时间也就不会停止。既然永远尽头，就算无限了

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 14:02
照这个典，谁都长生不死~

这个过程可以无限，注意是无限进行下去，所以兔子永远追不上乌龟。这就是悖论，人生也是个悖论。

尤美

诗意天涯 发表于 2021-4-12 12:38
对对，就是这个典

照这个典，谁都长生不死~

尤美

老贾 发表于 2021-4-12 12:34
那可能是小费（或者孙老师）描述不严谨。

描述里特别强调了是无限分割后的点集合复制3次。

尤美

诗意天涯 发表于 2021-4-12 12:34
一秒的概念是现实实验的结果，而这个算法是纯理论的，使用的时候，时间的总和一直在累加的路上，没有尽头 ...

时间一直在累加，但每次累加都是上次的一半。

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + ...

永辈子都加不到1秒~

诗意天涯

老贾 发表于 2021-4-12 12:35
兔子追不上乌龟。很好的话题

对对，就是这个典

老贾

诗意天涯 发表于 2021-4-12 12:17
本来一步的距离，用时一秒跨过。
那么，半秒时跨过一半，再1/4秒跨过1/4,再1/8秒跨过1/8,再……无穷细分… ...

兔子追不上乌龟。很好的话题

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 11:57
问题是，放大的不是第二层，而是“多次无穷”后的点集合呀~？

那可能是小费（或者孙老师）描述不严谨。

诗意天涯

尤美 发表于 2021-4-12 12:28
但用时无限————————
不是无限，而是无限接近于1秒

一秒的概念是现实实验的结果，而这个算法是纯理论的，使用的时候，时间的总和一直在累加的路上，没有尽头，可以说无限

尤美

诗意天涯 发表于 2021-4-12 12:17
本来一步的距离，用时一秒跨过。
那么，半秒时跨过一半，再1/4秒跨过1/4,再1/8秒跨过1/8,再……无穷细分… ...

但用时无限————————
不是无限，而是无限接近于1秒

诗意天涯

本来一步的距离，用时一秒跨过。
那么，半秒时跨过一半，再1/4秒跨过1/4,再1/8秒跨过1/8,再……无穷细分……
结论：虽然总距离不变,但用时无限，所以，我们永远无法到达。

尤美

老贾 发表于 2021-4-12 11:12
你把第二层的左边图形放大三倍，就又得到一个与原图一样的图。

问题是，放大的不是第二层，而是“多次无穷”后的点集合呀~？

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 09:54
去掉的三分之一长度总和不是零么？等于没去掉。

你把第二层的左边图形放大三倍，就又得到一个与原图一样的图。

尤美

老贾 发表于 2021-4-12 09:22
我来解释一下吧。这个图完全可以看做一维空间的图，所谓扩大三倍就是直线段扩大三倍。再去掉其中三分之一 ...

去掉的三分之一长度总和不是零么？等于没去掉。

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 01:55
对了，酸菜鱼这题里面有句话一直没想明白为什么，“放大三倍后，只能得到相当于二个原来图型大小的新图型 ...

我来解释一下吧。这个图完全可以看做一维空间的图，所谓扩大三倍就是直线段扩大三倍。再去掉其中三分之一，所以长度扩大了两倍。

尤美

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:00
大概是我没说清楚，确实不该写得那么绕，但我相信和他们说的是一回事，起码我敢向你保证，我不是故意的 ...

对了，酸菜鱼这题里面有句话一直没想明白为什么，“放大三倍后，只能得到相当于二个原来图型大小的新图型”。落下强迫症了，总是在想为啥，你给讲讲行不？（前面说的都明白，就这句话没想通...）

老贾

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:08
对你最后一句有意见，哈哈。现实世界是没有悖论的，悖论的出现是解释工具出问题，或者说，是逻辑学理论 ...

我说的悖论应该加个引号。

老贾

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:06
我前些日子在读《大自然的分形几何学》作者是Benoit B.Mandelbrot，挺有意思的一本书。里面就有你所说 ...

没看过，有机会一定看看。这是因为酸菜鱼提到雪花分形，俺突然想到了海岸线问题，算是不谋而合吧。这也说明了这的确是个问题，值得研究的问题。

啊哩哩啊

老贾 发表于 2021-4-10 18:32
就测量来说，测度论理论已经是一个比较完善的理论了。勒伯格测度（Lesbegure measure）是测度论里一个重要 ...

对你最后一句有意见，哈哈。现实世界是没有悖论的，悖论的出现是解释工具出问题，或者说，是逻辑学理论出问题。数理逻辑的发展，就起始于解决悖论问题。

啊哩哩啊

老贾 发表于 2021-4-10 08:08
我也是一直在纠结。

我前些日子在读《大自然的分形几何学》作者是Benoit B.Mandelbrot，挺有意思的一本书。里面就有你所说的这些问题分析，对分形有比较详细的阐述。不知道你有没读过。看到你们也在聊这个，就来凑凑热闹。

啊哩哩啊

尤美 发表于 2021-4-10 07:19
OMG！！！
每个字都认识，每句话都不懂...........
不过知道知道老贾和酸菜鱼讲的不是一件事，只是有点 ...

大概是我没说清楚，确实不该写得那么绕，但我相信和他们说的是一回事，起码我敢向你保证，我不是故意的，哈哈

老贾

就测量来说，测度论理论已经是一个比较完善的理论了。勒伯格测度（Lesbegure measure）是测度论里一个重要的部分，勒伯格测度（Lesbegure measure）是赋予欧几里得空间的子集面积、长度、体积的标准方法。像前述的线段三分，取走中间一段开区间，剩下两段闭区间，最后分到点，就是康托尔集，是勒伯格测度为零的不可数集。而所谓豪斯多夫测度，是勒伯格测度的一个推广。豪斯多夫维数就是一个临界点，是豪斯多夫外测度由无穷到零的一个临界点。这个临界点，过了就是零，没过就是无穷大，所以豪斯多夫维数就是正好，就是唯一的那个维数。而那个维数偏偏就是分数，不是整数。但是，曼德布罗特，分形的命名者，分形几何的重要人物，《大自然的分形几何学》作者，偏偏就对豪斯多夫维数有抵触，因为分形本来应该是以豪斯多夫维数来定义的。而曼德布罗特给出的理由似乎也无可辩驳：豪斯多夫维数还是在欧氏空间的拓扑维定义范围内，而“事实并非如此”，拓扑维函数是一个光滑连续的函数，处处可导；而分形并非处处可导，大多是处处不可导。也许，这是曼德布罗特坚持不用豪斯多夫维定义分形，而用fractal（破碎，无规则，随片，分数）来命名分形的缘故吧。我对此还是有点不解。不过，翻译成“分形”，确实更合原意。
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现实中的测量确实是个问题。数学的分形是否适用于现实的确定的图形，也是个问题。长度概念也许仅存在于数学中，也就是线必须是直线或光滑曲线，而现实的线都是不规则的。就像我们用绳子围住一个图形，如果它是光滑曲线，比如是个圆，那么绳子长度就是其周长。问题是现实中的都是不规则的，绳子围住并收紧后，它是由直线段组成的，每个直线段还可以内嵌，可以无限进行，那么其长度就可以无限大。问题是，现实中的图形是物质组成的，当围到原子、电子时，问题又来了，一个电子的表面是光滑的吗？这时，数学进入了物理学领域，而物理学的宏观理论和微观理论是不同的，按照量子力学的观点，微观世界本身就是不确定的。所以，现实的东西本质是不确定的。现实世界本身就是个悖论。

老贾

分形的定义就是：如果一个集合在欧氏空间中的豪斯多夫维数HD大于其拓扑维数rD，则称该集合为分形集，简称分形。可以记为D>Dr，这里，>的含义就是严格大于而不是大于等于。如果把海岸线拉直，就是个线条，不管它有多长；上图中的科赫岛，如果拉直，就是个圆周线。两者的拓扑维都是1维。其实，所谓分形，就是维度不一定是整数的，可以是分数的。

当我们计算一维长度时，a=b±c；计算二维面积时，a=b²；计算三维体积时，a=b³;计算n维体积时，a=bⁿ，此处，n是维数。上图科赫岛分形，长度为1的线段每迭代一次，就变成4根原长度1/3的线段，迭代三次，长度是原来的4倍，线段数和迭代次数可以建立关系式，a=bⁿ，则维数n=loga/logb=log4/log3=1.26。所以，科赫岛的维数就是1.26，也就是大于1维小于2维，满足分形的条件D>Dr。
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这是某种数学维度的概念，雪花分形的维度确实是分数。