魔方猜想

无蕊

熄灯后仍听见魔方转动声。
怎么还不睡？
爸爸，你说左面转九十度，再整个转九十度，这样循环下去，会不会回到原来的样子？
好问题，我怎么没想到过呢。
这样转几次，每个面的图案都是有规律的，两个一样颜色的块在边上.......
我在脑子里努力建模，勉强循环了两次就有点晕了，追不上桃桃描绘的图景。
我问：你是在做这个试验么？
对呀。
魔方色块的组合是有限的，如果每个循环形成的组合样式都是不一样的，总会有穷尽的时候，那么就总会有重复的时候，那不就复原了吗？
我也是这样想的。
不过知道这一点也没什么意义，你得明确知道是在多少个循环后复原。
我不正在掰吗？
你不准备睡觉了吗？睡觉吧，你这样掰出结果来可能要好几百年呢，你得建个数学模型把它计算出来，这才牛。睡吧。
呵。
你们俩在说什么？
桃桃把话头跟妈妈重复了一遍。
听不懂，我听不懂，快别跟我说了。你能把魔方六个面复原吗？
教桃桃的时候对着公式复原过一次。桃桃，你现在还需要公式吗？
不需要。
有公式的呀？
对呀，光知道给他买。睡吧。
呵。

桃桃桌上现在有三个魔方，一个是正常的，一个是块的大小不一样的，新近为了初三的化学课又添了个带元素名字的。静水负责把它们掰乱，桃桃无聊时就把来复原，轻松随意的样子，就象把房间书桌归齐整一样。没见他整理过房间，三个魔方倒是复原得挺勤快。虽然离创纪录的四点几秒仍有不小差距，我早已是望尘莫及了。
今天下午，把这个问题问了下DS，思考了431秒后回答我循环十六次即可回到原点。DS说：
【是的，经过循环操作后，魔方能够回到起始状态。具体来说，循环操作包括以下两个步骤：
1. 左侧一面顺时针旋转90度。
2. 整体魔方绕垂直轴顺时针旋转90度。
重复这个循环16次后，魔方会返回起始状态。原因在于：
· 在每次循环中，左侧一面的旋转总是针对当前左面进行的。
· 经过4次循环后，每个侧面（左、后、右、前面）都被顺时针旋转了一次。
· 经过16次循环后，每个侧面都被顺时针旋转了4次，相当于每个面旋转了360度，因此魔方整体恢复到初始状态。
注意，在整个过程中，上面和下面没有被旋转，因此它们始终保持初始状态。
因此，循环操作可以回到起始状态。】
如果只是循环16次，桃桃岂不早就试出来了，对此我表示怀疑，并提示他“在整个过程中，上面和下面没有被旋转，因此它们始终保持初始状态”的推理不合事实，DS又思考384秒，得出同样的答案。

回到家，桃桃在赶暑假作业，我拿了魔方准备循环个十六下看看。
怎么了？
DS说只要循环十六次就可以回到原来的样子。
你开深度思考了么？
开了，它说要用到群论。
看到循环十六次的结果，我们都乐了。桃桃说：编程有点太复杂了。
原理其实很简单，生成一个结果，对比一下，不对，记一次数，进入下一轮。
这样要存贮很多数据。
不对的随时清空啊，我们只要记数。
那也可以，魔方有三种色块，中心位置的，只有一色，六块；角上的，有三面色，八块；棱线中间的，两面色，十二块。嗯，这个程序我好象能编出来，就是要写得很长很长。
可以简化一下，比如中心位置的六个单色块，它们相对位置其实是不变的，可以排除掉。
不行。
桃桃把魔方变了变，变出每面就中心颜色不一样的样子。
噢。你知道魔方一共有多少种组合吗？
据说把各种组合的魔方排成一列，有好几光年长。
这个可以计算的，比如八个角，是8*7*6*5*4*3*2*1，然后每个角还有三种变化。
单个角这样转一下，是不能复位的。
是吗，也就是说正常转的话，是不用考虑这个变化的。
是的，但是对面的角也同时这样转一下，又可以复位。
是吗，我有点晕了。
我觉得我能编。

8/26

河海森林

湘女妃儿

无蕊家小孩多大了？
玩这个有点难度吧

湘女妃儿

我还打算买一个天天玩玩活动手关节。

金豆豆

善于思考的孩子和懂得沟通的家长。这就是传说中其乐融融的学习型家庭吧？

无蕊

金豆豆 发表于 2025-8-27 13:00
善于思考的孩子和懂得沟通的家长。这就是传说中其乐融融的学习型家庭吧？

有点拍马也赶不上的感觉了

无蕊

湘女妃儿 发表于 2025-8-27 12:56
无蕊家小孩多大了？
玩这个有点难度吧

开学初三，挺熬人的一年

周文王

好问题，数学中有一个旋转对称性，

几何问题，非常高深。辫群。

魔方问题，可以建立立体思维，

很好的启蒙。

周文王

可以写一篇小论文了。

还有折纸，也是数学几何问题。

周文王

好的，这个问题所涉及的核心数学知识可以非常精简地概括：

这个问题本质上是一个群论（Group Theory）问题，具体来说是研究一系列旋转操作如何构成一个循环群（Cyclic Group）。

几何变换（Geometric Transformations）：
你描述的“左转90度，再整体转90度”是两种严格的空间旋转（Rotations）。理解这些操作如何改变魔方上每个块的位置，是分析的基础。

循环与周期（Cycles and Periodicity）：
核心问题是寻找这一系列固定操作重复执行的周期（Period），即需要多少次操作后，整个系统才能回归初始状态。这就像计算一个函数 f(f(f(...f(x)...))) 需要迭代多少次才能等于 x。

阶（Order）：
在群论中，这个“周期”被称为这一系列操作所生成的元素的阶（Order）。你需要找到这个复合操作的最小正整数 n，使得操作重复 n 次后等于“什么都不做”的恒等操作。

简单来说： 你不是在计算魔方所有可能的状态（那是另一个巨大的群），而是在计算“执行一串固定操作”的周期。这串操作本身就像一个“公式”，不断应用这个公式，最终会循环回来。

DS最初错误地认为只有侧面在动，所以周期是4（每个面转一次）x 4（四个面都轮一遍）= 16。但实际上，在“整体转动”时，“上面”和“下面”的概念在不断变化（原来的“前面”会变成“左面”），导致各个块的运动轨迹比想象中复杂，因此实际的周期远大于16。正确的计算需要通过分析每个块的运动轨迹来确定所有轨迹周期的最小公倍数。

无蕊

周文王 发表于 2025-8-27 14:10
好的，这个问题所涉及的核心数学知识可以非常精简地概括：

这个问题本质上是一个群论（Group Theory）问 ...

这个回答明显要聪明一点。请问你是怎么问的

周文王

无蕊 发表于 2025-8-27 14:35
这个回答明显要聪明一点。请问你是怎么问的

我把你主贴的文章直接喂DS，

结果出现一Bug，

他开始自循环了，

思考的时候根本停不下来，

我给他停了。

我说：你分析得太多了，就简单说说涉及到得数学几何知识就行

周文王

第一次碰到他自循环，

这说明主贴里有一个逻辑问题，

让他思考根本停不下来。

嘿嘿嘿，

所以，AI也有搞不定的时候。

无蕊

周文王 发表于 2025-8-27 14:50
第一次碰到他自循环，

这说明主贴里有一个逻辑问题，

噢，我担心程序编出来，计算机也要算好多年

周文王

好的，第一个帖子讨论的核心问题是：

对一个魔方重复进行一组固定的旋转操作后，它能否以及何时会恢复到最初的状态。

具体来说，这个固定操作是：

将当前 left 面顺时针旋转90度。

将整个魔方绕垂直轴顺时针旋转90度（相当于所有面都“向左”轮换了一次）。

讨论的焦点和分歧在于：

儿子（桃桃） 通过手动操作魔方，直觉上认为这个循环最终肯定会复原，但无法确定需要多少次。

父亲 认同这个最终会复原的想法，但认为手动试验不现实，建议用数学模型（编程或数学计算）来解决。

AI助手（DS） 通过推理给出了一个错误答案（16次）。它的错误在于假设“上面”和“下面”在整体旋转中保持不变，但实际上“上面”和“下面”的概念随着每次整体旋转而改变了（例如，原来的“前面”在整体旋转后变成了“左面”），这使得块的运动轨迹非常复杂。

父子二人 通过实际操作发现16次并不能复原，于是开始探讨用编程（通过计算所有块运动轨迹周期的最小公倍数）或更深入的数学（群论）来找到真正的周期。

所以，这本质上是一个关于“变换周期”的数学问题，他们是在探讨一个特定操作序列的数学性质，而不是在讨论如何随机地还原一个魔方。

周文王

无蕊 发表于 2025-8-27 15:09
噢，我担心程序编出来，计算机也要算好多年

其实我没有理解你们在讨论的问题是什么？

立体魔方，是分层的，

所谓一个面顺时针旋转九十度，

是一个层面吧，

然后整体顺时针旋转九十度，

这个是魔方整体旋转。

那问题是什么呢？

是说一个层面转一次，

然后整体转一次，

多少次能回到初始状态吗？

无蕊

周文王 发表于 2025-8-27 16:16
其实我没有理解你们在讨论的问题是什么？

立体魔方，是分层的，

是的。层更准确，表述随意了点

周文王

大概弄懂了问题是什么了。

之前理解的是，上下分层的上面，顺时针旋转九十度，

这个问题没那么难。

实际问题是，左右分层的左侧面，以左右横向X轴为轴，

然后顺时针转九十度，从左往右看。

然后再整体以上下纵轴Y为轴，从上往下看，顺时针转九十度。

这个问题就复杂了。

浅浅珍珠蓝

魔方从没玩明白，
看不懂。
时间这么快，上初三了。印象里才上初中。

知音

这种动手的东西很难用语言描述吧，有时候说不清楚但是能摆楞出来。

周文王

最小复原周期‌：重复执行上述组合操作‌126次‌后，魔方将完全恢复到初始状态。

百度AI给的答案，用着也不错的说。

无蕊

周文王 发表于 2025-8-27 17:05
最小复原周期：重复执行上述组合操作126次后，魔方将完全恢复到初始状态。

百度AI ...

这个数值还是可以手动验证的

无蕊

知音 发表于 2025-8-27 16:57
这种动手的东西很难用语言描述吧，有时候说不清楚但是能摆楞出来。

熟能生巧

无蕊

浅浅珍珠蓝 发表于 2025-8-27 16:50
魔方从没玩明白，
看不懂。
时间这么快，上初三了。印象里才上初中。

入手晚了。创世界纪录的尽是些小孩

周文王

无蕊 发表于 2025-8-27 17:29
这个数值还是可以手动验证的

嗯，可以考虑用初始魔方，

手动画正字计数。

试下，这次次数，不知道是2次转动组合的次数，

还是转一次就算。

周文王

126次的具体含义
您询问的126次复原周期，是指完成‌"左侧面顺时针旋转90度 + 整体顺时针旋转90度"这个完整组合操作‌的次数。具体来说：

‌计数单位‌：每次计数是指完成这两个连续操作的完整组合
‌不是‌指单独计算每个基本操作的次数（即不是252次单独旋转）
操作组合的详细解释
‌一次完整计数‌包含：

步骤1：左侧面顺时针旋转90度
步骤2：整个魔方顺时针旋转90度
只有完成这两个步骤才算作"一次"
‌数学原理‌：

这个数字来源于将这两个操作视为一个整体复合操作
126是这个复合操作的最小复原周期
它考虑了这两个操作相互影响产生的置换效果
实际应用建议
‌练习时‌：建议明确区分每个完整组合的开始和结束
‌计数方法‌：可以每完成两个连续操作后计数一次
‌验证方式‌：如果在126次组合操作后魔方未复原，可能是操作执行有误
这个计数方式在魔方数学研究中是标准做法，即计算完整操作序列的重复次数，而非其中的基本操作次数。

螃蟹

哪用这么麻烦？三阶魔方，高手都是瞧一眼，然后闭上眼睛，卡卡卡，十几秒到二十几秒就搞定了。

周文王

这个问题还可以继续拓展一下，

现在只用到两个轴。

周文王

螃蟹 发表于 2025-8-27 18:02
哪用这么麻烦？三阶魔方，高手都是瞧一眼，然后闭上眼睛，卡卡卡，十几秒到二十几秒就搞定了。

在讨论一个数学问题，

不是练习的事儿。